- Binomial y Poisson: qué son y cuándo usar cada una
- Mapa visual: binomial y Poisson en el control de calidad
- Cómo elegir entre binomial y Poisson
- Distribución binomial
- Distribución de Poisson
- Cuándo la Poisson aproxima a la binomial
- Vínculo con gráficos de control y muestreo
- Errores comunes
- Preguntas frecuentes
Binomial y Poisson: qué son y cuándo usar cada una
La distribución binomial cuenta cuántas piezas defectuosas aparecen en una muestra de tamaño fijo, cuando cada pieza está buena o mala. La distribución de Poisson cuenta cuántos defectos aparecen en una unidad, área o período, cuando un mismo artículo puede tener varios defectos.
Esa elección define el gráfico de control y el plan de muestreo: binomial para el gráfico p y para planes de aceptación, Poisson para los gráficos c y u.
Mapa visual: binomial y Poisson en el control de calidad
El mapa compara las dos distribuciones lado a lado, con las fórmulas y el ejemplo numérico de este artículo.
Cómo elegir entre binomial y Poisson
La pregunta que decide es: ¿qué estoy contando?
| Criterio | Binomial | Poisson |
|---|---|---|
| Qué se cuenta | piezas defectuosas (no conformes) | defectos (no conformidades) |
| Tamaño de la muestra | n fijo y conocido | unidad de inspección (pieza, m², hora) |
| Resultado de cada artículo | solo dos: conforme o no | puede tener 0, 1, 2, 3... defectos |
| Límite superior | como máximo n | sin límite teórico |
| Parámetro | p (proporción defectuosa) | λ (defectos por unidad) |
| Media y varianza | np y np(1 − p) | λ y λ (iguales) |
| Gráfico de control | p o np | c o u |
Una pieza con cinco rayones cuenta como una pieza defectuosa en la binomial y como cinco defectos en Poisson. Ambas miradas son válidas, pero responden preguntas distintas: cuántas piezas perdí, o cuánto defecto produce el proceso.
Distribución binomial
Vale cuando hay n ensayos independientes y la probabilidad p de defecto es la misma en todos (proceso estable, muestra pequeña frente al lote).
P(X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n − k, con C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)
Media = n × p. Desviación estándar = √(n × p × (1 − p)).
Ejemplo resuelto (ficticio)
Una línea de tapas plásticas tiene 4% de piezas defectuosas (p = 0,04). En muestras de n = 50 piezas, la media esperada es 50 × 0,04 = 2 defectuosas y la desviación estándar es √(50 × 0,04 × 0,96) ≈ 1,39.
Para k = 2: C(50, 2) = 1.225; 0,04² = 0,0016; 0,9648 ≈ 0,1409. Entonces P(X = 2) = 1.225 × 0,0016 × 0,1409 ≈ 0,2762.
| Defectuosas en la muestra (k) | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | 0,1299 |
| 1 | 0,2706 |
| 2 | 0,2762 |
| 3 | 0,1842 |
| 4 | 0,0902 |
| 5 | 0,0346 |
Probabilidad de hasta 2 defectuosas: 0,1299 + 0,2706 + 0,2762 = 0,6767. Probabilidad de 3 o más: 1 − 0,6767 = 0,3233. Es decir, con el proceso en 4%, una de cada tres muestras de 50 piezas trae 3 o más defectuosas solo por azar, sin que nada haya cambiado.
Distribución de Poisson
Vale cuando los defectos ocurren al azar, de forma independiente, a una tasa media constante por unidad de inspección, y pueden repetirse en la misma unidad.
P(X = k) = e−λ × λk ÷ k!
Media = λ. Varianza = λ. Desviación estándar = √λ.
Ejemplo resuelto (ficticio)
Las placas electrónicas tienen en promedio λ = 3 defectos de soldadura por placa. Entonces e−3 ≈ 0,0498.
| Defectos en la placa (k) | Cálculo | P(X = k) |
|---|---|---|
| 0 | e−3 | 0,0498 |
| 1 | e−3 × 3 | 0,1494 |
| 2 | e−3 × 3² ÷ 2 | 0,2240 |
| 3 | e−3 × 3³ ÷ 6 | 0,2240 |
| 4 | e−3 × 34 ÷ 24 | 0,1680 |
| 5 | e−3 × 35 ÷ 120 | 0,1008 |
Placa sin defectos: 4,98%. Hasta 2 defectos: 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232. Cinco o más: 1 − (0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680) = 0,1847. Una desviación estándar de √3 ≈ 1,73 defectos explica por qué aparecen placas con 5 defectos sin que haya un problema nuevo.
Cuándo la Poisson aproxima a la binomial
Con n grande y p pequeño, la binomial se aproxima a una Poisson con λ = n × p. Regla práctica habitual: n ≥ 20 y p ≤ 0,05. Comparación para n = 200 y p = 0,01 (λ = 2):
| k | Binomial (200; 0,01) | Poisson (λ = 2) |
|---|---|---|
| 0 | 0,1340 | 0,1353 |
| 1 | 0,2707 | 0,2707 |
| 2 | 0,2720 | 0,2707 |
| 3 | 0,1814 | 0,1804 |
| 4 | 0,0902 | 0,0902 |
| 5 | 0,0357 | 0,0361 |
La diferencia queda en el tercer decimal. Por eso el DPMO y las tasas de defecto en ppm, con p muy pequeño, suelen tratarse con Poisson. Para p mayor (por ejemplo, 4% con n = 50) la aproximación ya pierde precisión: P(X = 2) es 0,2762 en la binomial y 0,2707 en la Poisson. Si la muestra es suficientemente grande y p no es extremo, la distribución normal también aproxima a la binomial.
Vínculo con gráficos de control y muestreo
- Gráfico p: usa la binomial. Con p̄ = 0,04 y n = 50, el límite superior es 0,04 + 3 × √(0,04 × 0,96 ÷ 50) ≈ 0,1231 (12,31%), y el inferior resulta negativo, así que vale 0. Más en gráfico p.
- Gráfico c: usa Poisson. Con c̄ = 3 defectos por placa, el límite superior es 3 + 3 × √3 ≈ 8,20 y el inferior es 0. Una placa con 9 defectos es una señal. Vea gráficos c y u para unidades de tamaño variable.
- Plan de aceptación: la probabilidad de aceptar un lote con n = 50 y número de aceptación c = 2 es P(X ≤ 2) de la binomial. Para p = 2%, 4% y 8% da 0,9216, 0,6767 y 0,2260. Es el principio de la curva característica de operación, base del muestreo por NCA. Para dimensionar n, consulte el tamaño de la muestra.
- Rendimiento: la probabilidad de que una unidad salga sin defectos (e−λ en Poisson) conecta ambos mundos con el FPY y RTY.
Para la visión general de cómo armar y leer gráficos, vea el CEP y el artículo hermano sobre las reglas de Western Electric y Nelson.
Errores comunes
- Contar defectos y usar la binomial. Si una pieza puede tener varios defectos, el modelo es Poisson (o cuente piezas defectuosas).
- Mezclar tamaños de unidad. El λ solo vale para una unidad de inspección definida; si cambia el área o el tiempo, λ cambia proporcionalmente.
- Ignorar la dependencia. Los defectos en racimo (una causa que afecta varias piezas seguidas) rompen la independencia. Señal: varianza muy superior a la media.
- Suponer p constante con un proceso inestable. La binomial describe la muestra solo si p no cambió.
- Aproximar sin revisar la regla. Poisson en lugar de la binomial con p alto distorsiona las colas.
- Muestra demasiado grande frente al lote. Si la muestra es grande respecto al lote y se extrae sin reposición, el modelo correcto es la hipergeométrica.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre binomial y Poisson?
La binomial cuenta piezas defectuosas entre n artículos (cada uno está bueno o malo). La Poisson cuenta defectos por unidad, sin límite superior, y su media es igual a su varianza.
¿Cuándo usar la distribución de Poisson en calidad?
Cuando se cuentan defectos por pieza, placa, metro u hora, y ocurren de forma independiente a una tasa media constante.
¿Cuál es la fórmula de la distribución binomial?
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k). En el ejemplo, con n = 50 y p = 0,04, P(X = 2) = 0,2762.
¿Qué gráfico de control usa cada distribución?
La binomial sustenta los gráficos p y np. La Poisson sustenta los gráficos c y u.
¿Puedo aproximar la binomial con la Poisson?
Sí, cuando n es grande y p es pequeño (por ejemplo, n ≥ 20 y p ≤ 0,05), usando λ = n × p.
¿Cómo calcular la probabilidad de aceptar un lote?
Sume la binomial de 0 hasta el número de aceptación c. Con n = 50, c = 2 y p = 4%, la probabilidad de aceptar es 0,6767.
Fuentes
- MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. Wiley.
- MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Applied Statistics and Probability for Engineers. Wiley.
- ISO 2859-1. Sampling procedures for inspection by attributes.
- ISO 7870-2. Control charts: Shewhart control charts.
- WHEELER, D. J.; CHAMBERS, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press.
Para seguir estudiando: fuentes y enlaces fiables
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (en inglés)
- ASQ: Quality Resources (en inglés)
- Wikipedia: Gráfico de control
- Wikipedia: Control estadístico de procesos
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Sobre el autor
Especialista en Lean Manufacturing y Gestión del Comportamiento
Más de 20 años en la industria automotriz y metalmecánica (GM y Dana), especialista en Lean Manufacturing desde 2006. Instructor y mentor del SENAI en el programa Brasil Mais Produtivo, con consultorías, capacitaciones y auditorías en más de 50 empresas, uniendo calidad, productividad y desarrollo de personas.
