Distribución normal y desviación estándar: qué son
La distribución normal es la curva en forma de campana que describe cómo se dispersan las mediciones de un proceso estable alrededor de la media. La desviación estándar (σ) mide esa dispersión: cuanto mayor es, más ancha la curva y más piezas lejos del valor central.
En planta, estos dos números responden una pregunta básica de calidad: con lo que el proceso hace hoy, ¿qué fracción de las piezas quedará fuera de tolerancia? Son la base del Cp y Cpk, de las cartas del CEP y del nivel sigma.
Mapa visual de la distribución normal
El mapa muestra la curva con 1, 2 y 3 sigmas, la fórmula de la desviación estándar y el ejemplo del eje de 25 mm.
Media, desviación estándar y la regla 68-95-99,7
La media (x̄) es el centro de la curva. La desviación estándar muestral (s) se calcula con las mediciones recolectadas:
x̄ = Σx ÷ n s = √[ Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ]
En una distribución normal, la proporción de piezas en cada franja alrededor de la media es fija. No depende de la magnitud medida, sea milímetro, gramo o segundo:
| Franja | Intervalo en el ejemplo (media 25,00; σ 0,02) | Dentro de la franja | Fuera de la franja |
|---|---|---|---|
| 1σ | 24,98 a 25,02 | 68,27% | 317 de cada 1.000 |
| 2σ | 24,96 a 25,04 | 95,45% | 46 de cada 1.000 |
| 3σ | 24,94 a 25,06 | 99,73% | 2,7 de cada 1.000 |
Es la llamada regla empírica: cerca de 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ y 99,73% dentro de ±3σ. Por eso se dice que la variación natural de un proceso ocupa 6σ.
Ejemplo: diámetro de un eje de 25 mm
Ejemplo ilustrativo. Un eje tiene especificación 25,00 ± 0,05 mm (límites 24,95 y 25,05). Se midieron 10 piezas consecutivas: 25,02; 24,98; 25,01; 25,03; 24,99; 25,00; 24,97; 25,02; 25,01; 24,99.
- Media: suma = 250,02, entonces x̄ = 250,02 ÷ 10 = 25,002 mm.
- Suma de los cuadrados de las desviaciones: Σ(x − x̄)² = 0,00336.
- Varianza muestral: 0,00336 ÷ (10 − 1) = 0,000373.
- Desviación estándar: s = √0,000373 = 0,0193 mm.
Para seguir con números redondos, supongamos un proceso con media 25,00 y σ = 0,02 mm. El límite superior está a (25,05 − 25,00) ÷ 0,02 = 2,5 desviaciones de la media, y el inferior también.
z = (límite − media) ÷ σ = 0,05 ÷ 0,02 = 2,5
En la tabla de la normal estándar, el área más allá de z = 2,5 en cada lado es 0,62%. Sumando ambos lados, 1,24% de las piezas (unas 12.400 por millón) quedan fuera de tolerancia. Con 1.000 ejes por día, son unos 12 rechazos o retrabajos.
El mismo ejemplo da el Cp: tolerancia ÷ 6σ = 0,10 ÷ 0,12 = 0,83. Por debajo de 1, el proceso no cabe en la tolerancia; el cálculo de Cp y Cpk muestra cómo centrar y reducir la dispersión.
Cómo usarla en planta
- Recolecte de 30 a 50 mediciones en condición estable, con una hoja de verificación.
- Construya el histograma y verifique que se parezca a una campana.
- Calcule x̄ y s (planilla o calculadora estadística).
- Convierta cada límite de especificación en z y busque el área en la tabla normal.
- Si la fracción fuera es alta, actúe primero en el centrado (media) y después en la dispersión (σ).
Cuándo no aplica la distribución normal
No toda característica es simétrica. Los datos con límite natural en cero (planitud, excentricidad, rugosidad, tiempo de reparación) son asimétricos. Los conteos de defectos siguen otros modelos, como el de Poisson. En esos casos, aplicar la regla 68-95-99,7 subestima o sobrestima el riesgo. La carta p es el camino para datos por atributos.
| Situación | Comportamiento típico | Qué hacer |
|---|---|---|
| Diámetro, longitud, peso | Cercano al normal | Aplicar z y tabla normal |
| Planitud, excentricidad | Asimétrico, límite en cero | Transformar los datos o usar otra distribución |
| Piezas defectuosas por lote | Binomial | Carta p o np |
| Dos turnos mezclados | Bimodal | Estratificar y analizar por separado |
Errores comunes
- Confundir σ con s. σ es el valor real del proceso; s es la estimación hecha con la muestra y es más confiable con más datos.
- Dividir por n en vez de n − 1 en la fórmula de s con muestra pequeña, lo que subestima la dispersión.
- Aplicar la curva normal sin revisar el histograma o con proceso inestable. Sin estabilidad, σ no describe el futuro.
- Ignorar la resolución del instrumento. Si el sistema de medición aporta mucha variación, el σ calculado incluye el error del instrumento. Vea el MSA y Gauge R&R.
- Mezclar lotes, máquinas o turnos en una sola muestra y creer que el σ obtenido es el del proceso.
- Mirar solo la media. Dos líneas con la misma media pueden tener σ muy distintos, y la peor genera rechazo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la distribución normal?
Es la curva simétrica en forma de campana alrededor de la media que describe la variación natural de muchas características de proceso, como dimensiones y pesos.
¿Qué es la desviación estándar?
Es la medida de cuánto se alejan los valores, en promedio, del valor central. Tiene la misma unidad de la medición (mm, g, s).
¿Cuál es la diferencia entre desviación estándar muestral y poblacional?
La muestral (s) divide por n − 1 y estima la dispersión a partir de una muestra. La poblacional (σ) divide por n y se usa cuando se tienen todos los datos.
¿Qué significa la regla 68-95-99,7?
En una distribución normal, cerca de 68,27% de los valores quedan en ±1σ, 95,45% en ±2σ y 99,73% en ±3σ de la media.
¿Cómo calculo la fracción de piezas fuera de tolerancia?
Convierta cada límite en z = (límite − media) ÷ σ, busque el área más allá de z en la tabla normal estándar y sume ambos lados. En el ejemplo, z = 2,5 da 1,24%.
¿Cuántas mediciones necesito para estimar la desviación estándar?
Como referencia práctica, de 30 a 50 en condición estable. Para definir el tamaño con margen de error, vea el artículo sobre tamaño de muestra.
Fuentes
- MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. Wiley.
- WERKEMA, M. C. C. Ferramentas Estatísticas Básicas para o Gerenciamento de Processos. Belo Horizonte: Fundação Christiano Ottoni.
- WALPOLE, R. E. et al. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Pearson.
- ISO 3534-1. Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability.
Para seguir estudiando: fuentes y enlaces fiables
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (en inglés)
- ASQ: Quality Resources (en inglés)
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Sobre el autor
Especialista en Lean Manufacturing y Gestión del Comportamiento
Más de 20 años en la industria automotriz y metalmecánica (GM y Dana), especialista en Lean Manufacturing desde 2006. Instructor y mentor del SENAI en el programa Brasil Mais Produtivo, con consultorías, capacitaciones y auditorías en más de 50 empresas, uniendo calidad, productividad y desarrollo de personas.
