- Binomial e Poisson: o que são e quando usar cada uma
- Mapa visual: binomial e Poisson no controle de qualidade
- Como escolher entre binomial e Poisson
- Distribuição binomial
- Distribuição de Poisson
- Quando a Poisson aproxima a binomial
- Ligação com cartas de controle e amostragem
- Erros comuns
- Perguntas frequentes
Binomial e Poisson: o que são e quando usar cada uma
A distribuição binomial conta quantas peças defeituosas aparecem em uma amostra de tamanho fixo, quando cada peça é boa ou ruim. A distribuição de Poisson conta quantos defeitos aparecem em uma unidade, área ou período, quando um mesmo item pode ter vários defeitos.
Essa escolha define a carta de controle e o plano de amostragem: binomial para a carta p e para planos de aceitação, Poisson para a carta c e u.
Mapa visual: binomial e Poisson no controle de qualidade
O mapa compara as duas distribuições lado a lado, com as fórmulas e o exemplo numérico deste artigo.
Como escolher entre binomial e Poisson
A pergunta que decide é: o que estou contando?
| Critério | Binomial | Poisson |
|---|---|---|
| O que se conta | peças defeituosas (não conformes) | defeitos (não conformidades) |
| Tamanho da amostra | n fixo, conhecido | unidade de inspeção (peça, m², hora) |
| Resultado de cada item | só dois: conforme ou não | pode ter 0, 1, 2, 3... defeitos |
| Limite superior | no máximo n | sem limite teórico |
| Parâmetro | p (proporção defeituosa) | λ (defeitos por unidade) |
| Média e variância | np e np(1 − p) | λ e λ (iguais) |
| Carta de controle | p ou np | c ou u |
Uma peça com cinco riscos conta como uma peça defeituosa na binomial e como cinco defeitos em Poisson. Os dois olhares são válidos, mas respondem a perguntas diferentes: quantas peças perdi, ou quanto defeito o processo produz.
Distribuição binomial
Vale quando há n tentativas independentes e a probabilidade p de defeito é a mesma em todas (processo estável, amostra pequena frente ao lote).
P(X = k) = C(n, k) × pk × (1 − p)n − k, com C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)
Média = n × p. Desvio padrão = √(n × p × (1 − p)).
Exemplo resolvido (fictício)
Uma linha de tampas plásticas tem 4% de peças defeituosas (p = 0,04). Em amostras de n = 50 peças, a média esperada é 50 × 0,04 = 2 defeituosas e o desvio padrão é √(50 × 0,04 × 0,96) ≈ 1,39.
Para k = 2: C(50, 2) = 1.225; 0,04² = 0,0016; 0,9648 ≈ 0,1409. Então P(X = 2) = 1.225 × 0,0016 × 0,1409 ≈ 0,2762.
| Defeituosas na amostra (k) | P(X = k) |
|---|---|
| 0 | 0,1299 |
| 1 | 0,2706 |
| 2 | 0,2762 |
| 3 | 0,1842 |
| 4 | 0,0902 |
| 5 | 0,0346 |
Probabilidade de até 2 defeituosas: 0,1299 + 0,2706 + 0,2762 = 0,6767. Probabilidade de 3 ou mais: 1 − 0,6767 = 0,3233. Ou seja, com o processo em 4%, uma em cada três amostras de 50 peças traz 3 ou mais defeituosas apenas por acaso, sem que nada tenha mudado.
Distribuição de Poisson
Vale quando os defeitos ocorrem ao acaso, de forma independente, a uma taxa média constante por unidade de inspeção, e podem se repetir na mesma unidade.
P(X = k) = e−λ × λk ÷ k!
Média = λ. Variância = λ. Desvio padrão = √λ.
Exemplo resolvido (fictício)
Placas eletrônicas têm em média λ = 3 defeitos de solda por placa. Então e−3 ≈ 0,0498.
| Defeitos na placa (k) | Cálculo | P(X = k) |
|---|---|---|
| 0 | e−3 | 0,0498 |
| 1 | e−3 × 3 | 0,1494 |
| 2 | e−3 × 3² ÷ 2 | 0,2240 |
| 3 | e−3 × 3³ ÷ 6 | 0,2240 |
| 4 | e−3 × 34 ÷ 24 | 0,1680 |
| 5 | e−3 × 35 ÷ 120 | 0,1008 |
Placa sem defeito: 4,98%. Até 2 defeitos: 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232. Cinco ou mais: 1 − (0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680) = 0,1847. Um desvio padrão de √3 ≈ 1,73 defeitos explica por que placas com 5 defeitos aparecem sem que haja problema novo.
Quando a Poisson aproxima a binomial
Com n grande e p pequeno, a binomial se aproxima de uma Poisson com λ = n × p. Regra prática usual: n ≥ 20 e p ≤ 0,05. Comparação para n = 200 e p = 0,01 (λ = 2):
| k | Binomial (200; 0,01) | Poisson (λ = 2) |
|---|---|---|
| 0 | 0,1340 | 0,1353 |
| 1 | 0,2707 | 0,2707 |
| 2 | 0,2720 | 0,2707 |
| 3 | 0,1814 | 0,1804 |
| 4 | 0,0902 | 0,0902 |
| 5 | 0,0357 | 0,0361 |
A diferença fica na terceira casa decimal. Isso explica por que o DPMO e as taxas de defeito em ppm, com p muito pequeno, costumam ser tratados com Poisson. Para p maior (por exemplo, 4% com n = 50), a aproximação já perde precisão: P(X = 2) é 0,2762 na binomial e 0,2707 na Poisson. Se a amostra é grande o bastante e p não é extremo, a distribuição normal também aproxima a binomial.
Ligação com cartas de controle e amostragem
- Carta p: usa a binomial. Com p̄ = 0,04 e n = 50, o limite superior é 0,04 + 3 × √(0,04 × 0,96 ÷ 50) ≈ 0,1231 (12,31%), e o inferior fica negativo, então vale 0. Mais em carta p.
- Carta c: usa Poisson. Com c̄ = 3 defeitos por placa, o limite superior é 3 + 3 × √3 ≈ 8,20 e o inferior é 0. Uma placa com 9 defeitos é sinal. Veja carta c e u para unidades de tamanho variável.
- Plano de aceitação: a probabilidade de aceitar um lote com n = 50 e critério de aceitação c = 2 é P(X ≤ 2) da binomial. Para p = 2%, 4% e 8%, dá 0,9216, 0,6767 e 0,2260. Esse é o princípio da curva característica de operação, base da amostragem NQA. Para dimensionar n, consulte o tamanho da amostra.
- Rendimento: a probabilidade de uma peça sair sem defeitos (e−λ em Poisson) liga os dois mundos ao FPY e RTY.
Para a visão geral de como montar e ler cartas, veja o CEP e o artigo irmão sobre as regras de Western Electric e Nelson.
Erros comuns
- Contar defeitos e usar a binomial. Se uma peça pode ter vários defeitos, o modelo é Poisson (ou conte peças defeituosas).
- Misturar tamanhos de unidade. O λ só vale para uma unidade de inspeção definida; mude a área ou o tempo e o λ muda proporcionalmente.
- Ignorar a dependência. Defeitos em cluster (mesma causa afetando várias peças seguidas) quebram a independência. Sinal: variância bem maior que a média.
- Assumir p constante com processo instável. A binomial só descreve a amostra se p não mudou.
- Aproximar sem checar a regra. Poisson no lugar da binomial com p alto subestima ou superestima as caudas.
- Amostra grande demais frente ao lote. Se a amostra é grande em relação ao lote e a retirada é sem reposição, o modelo correto é a hipergeométrica.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre binomial e Poisson?
A binomial conta peças defeituosas em n itens (cada item é bom ou ruim). A Poisson conta defeitos por unidade, sem limite superior, e a média é igual à variância.
Quando usar a distribuição de Poisson na qualidade?
Quando você conta defeitos por peça, placa, metro ou hora, e eles ocorrem de forma independente a uma taxa média constante.
Qual a fórmula da distribuição binomial?
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k). No exemplo, com n = 50 e p = 0,04, P(X = 2) = 0,2762.
Qual carta de controle usa cada distribuição?
A binomial sustenta as cartas p e np. A Poisson sustenta as cartas c e u.
Posso aproximar a binomial pela Poisson?
Sim, quando n é grande e p é pequeno (por exemplo, n ≥ 20 e p ≤ 0,05), usando λ = n × p.
Como calcular a probabilidade de aceitar um lote?
Some a binomial de 0 até o critério de aceitação c. Com n = 50, c = 2 e p = 4%, a probabilidade de aceitar é 0,6767.
Fontes
- MONTGOMERY, D. C. Introduction to Statistical Quality Control. Wiley.
- MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC.
- ISO 2859-1. Sampling procedures for inspection by attributes.
- ISO 7870-2. Control charts: Shewhart control charts.
- WHEELER, D. J.; CHAMBERS, D. S. Understanding Statistical Process Control. SPC Press.
Para estudar mais: fontes e links confiáveis
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (em inglês)
- ASQ: Quality Resources (em inglês)
- Wikipédia: Carta de controlo
- Wikipédia: Controle estatístico de processos
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Sobre o autor
Especialista em Lean Manufacturing e Gestão Comportamental
Mais de 20 anos de indústria automotiva e metalmecânica (GM e Dana), especialista em Lean Manufacturing desde 2006. Instrutor e mentor do SENAI no programa Brasil Mais Produtivo, com consultorias, treinamentos e auditorias em mais de 50 empresas, unindo qualidade, produtividade e desenvolvimento de pessoas.
