Konfidenzintervall berechnen: Formel und Fertigungsbeispiel

Was ist ein Konfidenzintervall

Ein Konfidenzintervall ist der Wertebereich, der mit einem gewählten Vertrauensniveau (meist 95 %) den wahren Mittelwert oder Anteil des Prozesses enthält. Es ist nötig, weil man eine Stichprobe misst und nicht die gesamte Produktion, und der Stichprobenmittelwert bei jeder Entnahme anders ausfällt.

Statt „der Mittelwert beträgt 25,40 mm“ berichtet man „der Mittelwert liegt mit 95 % Vertrauen zwischen 25,34 und 25,46 mm“. Die Breite zeigt, wie viel die Stichprobe hergibt. Wie viele Teile zu messen sind, steht unter Stichprobenumfang.

Visuelle Karte zum Konfidenzintervall

Die Karte fasst Formel, durchgerechnetes Beispiel mit 16 Teilen sowie den Einfluss von Vertrauensniveau und Stichprobenumfang zusammen.

Formel des Konfidenzintervalls für den Mittelwert

KI = x̄ ± t × (s ÷ √n)

• x̄: Stichprobenmittelwert.
• s: Stichprobenstandardabweichung.
• n: Anzahl der gemessenen Teile.
• s ÷ √n: Standardfehler des Mittelwerts.
• t: Wert der Student-t-Verteilung für Vertrauensniveau und n − 1 Freiheitsgrade.
• t × Standardfehler: Fehlerspanne.

Verwenden Sie t, wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe selbst stammt, was in der Fertigung der Normalfall ist. Verwenden Sie z (1,645 für 90 %, 1,960 für 95 %, 2,576 für 99 %), wenn die Prozessstreuung aus langer Historie bekannt ist oder n groß ist. Voraussetzung sind annähernd normalverteilte Daten, die Sie mit einem Histogramm und der Normalverteilung prüfen.

Durchgerechnetes Beispiel: Wellendurchmesser

Fiktives Beispiel. Ein Werker misst den Durchmesser von 16 Wellen aus der Linie. Der Mittelwert beträgt 25,40 mm, die Stichprobenstandardabweichung 0,12 mm.

1. Standardfehler = 0,12 ÷ √16 = 0,12 ÷ 4 = 0,030 mm.
2. Freiheitsgrade = 16 − 1 = 15; für 95 % ist t = 2,131.
3. Fehlerspanne = 2,131 × 0,030 = 0,064 mm.
4. 95-%-KI = 25,40 ± 0,064 = 25,336 bis 25,464 mm.

Aussage: Mit 95 % Vertrauen liegt der Prozessmittelwert zwischen 25,336 und 25,464 mm. Verlangt die Vorgabe für den Mittelwert 25,30 bis 25,50 mm, liegt das ganze Intervall darin. Das heißt nicht, dass alle Teile innerhalb der Toleranz liegen; dafür dienen Cp und Cpk.

Wie Vertrauensniveau und n die Breite verändern

Bei gleichen Daten (x̄ = 25,40; s = 0,12; n = 16) ändert das Vertrauensniveau den Wert t:

Mehr Vertrauen bedeutet einen breiteren Bereich. Um ihn ohne Vertrauensverlust zu verengen, müssen mehr Teile gemessen werden. Käme dasselbe s = 0,12 aus n = 64, sänke der Standardfehler auf 0,12 ÷ 8 = 0,015 mm und die 95-%-Spanne (t = 1,998) auf etwa 0,030 mm, die Hälfte. Vervierfacht man n, halbiert sich die Spanne, weil sie mit der Wurzel aus n sinkt.

Konfidenzintervall für einen Anteil

KI = p ± z × √[p × (1 − p) ÷ n]

Fiktives Beispiel: Von 200 geprüften Teilen waren 8 fehlerhaft, also p = 8 ÷ 200 = 0,04. Der Standardfehler ist √(0,04 × 0,96 ÷ 200) = 0,0139. Die 95-%-Spanne beträgt 1,96 × 0,0139 = 0,0272. Das 95-%-KI reicht von 1,3 % bis 6,7 % Fehleranteil. Der Bereich ist breit: Mit 200 Teilen lassen sich ein 2-%-Prozess und ein 6-%-Prozess nicht trennen. Die Näherung gilt, wenn n × p und n × (1 − p) über 5 bis 10 liegen; bei sehr wenigen Fehlern nutzt man exakte Verfahren. Zur Überwachung des Fehleranteils über die Zeit siehe die p-Karte.

So interpretieren Sie es richtig

• Bedeutung von 95 %: Würde man die Stichprobe oft wiederholen und jedes Mal ein Intervall bilden, enthielten etwa 95 % der Intervalle den wahren Mittelwert. Es heißt nicht „95 % Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert in diesem konkreten Intervall liegt“.
• Mittelwert ist nicht Teil: Das KI des Mittelwerts ist schmal, Einzelwerte streuen viel stärker. Vergleichen Sie das KI nicht mit der Bauteiltoleranz.
• Gruppen vergleichen: Überlappen sich zwei Intervalle nicht, ist der Unterschied real; bei Überlappung entscheidet formal der Hypothesentest.
• Genauigkeitsziel: Legen Sie zuerst die zulässige Spanne fest und berechnen Sie daraus n.

Wann es in der Fertigung eingesetzt wird

• Maschineneinstellung: prüfen, ob der Losmittelwert auf dem Nennmaß zentriert ist.
• Vorher/nachher: den Mittelwert nach einer Verbesserung mit dem früheren vergleichen.
• Losprüfung: den Fehleranteil per Stichprobe schätzen, siehe Stichprobenplan nach AQL.
• Eingriffsgrenzen: nicht mit den Grenzen einer x̄-R-Karte verwechseln; diese beschreiben die erwartete Streuung der Mittelwerte, nicht die Unsicherheit über den wahren Mittelwert.

Häufige Fehler

• z bei kleinem n und geschätztem s verwenden: Das Intervall wird zu schmal. Nehmen Sie t.
• Das KI aus Daten eines nicht beherrschten Messmittels berechnen: Die Messunsicherheit steckt dann im Ergebnis. Siehe MSA und Gauge R&R und Kalibrierung und Messunsicherheit.
• Schichten, Lose oder Maschinen bei instabilem Prozess in einer Stichprobe mischen.
• Das KI des Mittelwerts als Streubereich der Einzelteile lesen.
• t runden: Nehmen Sie den Tabellenwert für die richtigen Freiheitsgrade.
• Mit n = 4 schließen, ohne zu bemerken, dass t groß ist (3,182 bei 3 Freiheitsgraden) und der Bereich riesig wird.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Konfidenzintervall?

Ein aus einer Stichprobe berechneter Bereich, der mit einem festgelegten Vertrauensniveau den wahren Wert eines Parameters, etwa des Prozessmittelwerts, enthält.

Wie lautet die Formel des Konfidenzintervalls für den Mittelwert?

KI = x̄ ± t × s ÷ √n, mit t für n − 1 Freiheitsgrade.

Wann nimmt man t statt z?

Wenn die Standardabweichung aus der Stichprobe stammt, vor allem bei n unter 30. Bei großem n liegen t und z sehr nah beieinander.

Was bedeutet 95 % Vertrauen?

Dass das Verfahren in 95 % der wiederholten Stichproben Intervalle liefert, die den wahren Wert enthalten.

Wie wird das Intervall schmaler?

Durch größeren Stichprobenumfang, geringere Prozessstreuung oder ein niedrigeres Vertrauensniveau. Vervierfachtes n halbiert die Spanne.

Ist das Konfidenzintervall die Bauteiltoleranz?

Nein. Es beschreibt den Mittelwert, nicht einzelne Teile. Für die Toleranz dienen Fähigkeitskennwerte (Cp und Cpk).

Über den Autor

Vagner Soares

Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement

Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.

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