Stichprobenumfang berechnen: Formel und Rechenbeispiel

Stichprobenumfang: Definition und wann man ihn berechnet

Der Stichprobenumfang (n) ist die Anzahl an Teilen oder Messungen, die nötig ist, um einen Mittelwert oder einen Anteil mit vorgegebener Fehlerspanne und Konfidenzniveau zu schätzen. Wer ihn vor der Erhebung berechnet, vermeidet zwei Probleme: zu viel messen und Zeit verlieren oder zu wenig messen und schwache Schlüsse ziehen.

Hier geht es darum, ein Prozessmerkmal zu schätzen. Um ein Los anzunehmen oder abzulehnen, gilt ein anderer Weg: die AQL-Stichprobenprüfung nach ISO 2859-1. Zur Überwachung des Prozesses über die Zeit dienen SPC-Regelkarten.

Visuelle Karte zum Stichprobenumfang

Die Karte zeigt beide Formeln (Mittelwert und Anteil), die Endlichkeitskorrektur und die durchgerechneten Beispiele.

Formeln: Mittelwert und Anteil

Zur Schätzung eines Mittelwerts mit Fehlerspanne E bei bekannter (oder geschätzter) Standardabweichung σ:

n = (z × σ ÷ E)²

Zur Schätzung eines Anteils p (zum Beispiel Anteil fehlerhafter Teile):

n = z² × p × (1 − p) ÷ E²

Der z-Wert folgt aus dem Konfidenzniveau: 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. Das Ergebnis wird immer aufgerundet. Ist p unbekannt, setzt man p = 0,5; das ergibt den größten möglichen Umfang und damit den sicheren Fall. Zu σ und zur Prozesskurve siehe Normalverteilung und Standardabweichung.

Beispiel 1: Beutelgewicht (Mittelwert)

Illustratives Beispiel. Eine Linie füllt Beutel; die Historie zeigt σ = 2,0 g. Das mittlere Gewicht soll mit einer Fehlerspanne von ±0,5 g bei 95 % Konfidenz geschätzt werden.

n = (1,96 × 2,0 ÷ 0,5)² = 7,84² = 61,47 → 62 Beutel

σ verändert das Ergebnis, ebenso die Spanne. So reagiert n auf jede Entscheidung:

Eine doppelt so große Fehlerspanne senkt n auf ein Viertel. Wer die Konfidenz von 95 % auf 99 % erhöht, verdoppelt den Erhebungsaufwand fast.

Beispiel 2: Anteil fehlerhafter Teile (Anteil)

Illustratives Beispiel. Der Fehleranteil eines Prozesses soll mit ±3 Prozentpunkten Fehlerspanne bei 95 % Konfidenz geschätzt werden.

• Mit p geschätzt auf 5 % (aus der Historie): n = 1,96² × 0,05 × 0,95 ÷ 0,03² = 0,1825 ÷ 0,0009 = 202,75, also 203 Teile.
• Ohne jede Information (p = 0,5) und ±5 Punkten Spanne: n = 1,96² × 0,5 × 0,5 ÷ 0,05² = 384,16, also 385 Teile.

Bei wenigen Fehlern überzeichnet p = 0,5 den Umfang deutlich. Auch eine grobe Historie spart Erhebungsaufwand.

Endlichkeitskorrektur

Ist das Los oder die Grundgesamtheit (N) klein und würde die Stichprobe mehr als etwa 5 % davon ausmachen, überschätzt die Formel n. Dann gilt:

n_korrigiert = n₀ ÷ [1 + (n₀ − 1) ÷ N]

Mit N = 1.000 und n₀ = 384,16 (Anteil, ±5 Punkte, 95 %): n = 384,16 ÷ (1 + 383,16 ÷ 1.000) = 384,16 ÷ 1,38316 = 277,7, also 278 Teile statt 385. Ist N im Verhältnis zu n sehr groß, ist die Korrektur vernachlässigbar.

Vorgehen Schritt für Schritt

1. Festlegen, was geschätzt wird: Mittelwert (variable Daten) oder Anteil (attributive Daten).
2. Fehlerspanne E aus der anstehenden Entscheidung ableiten, nicht aus dem, was in die Routine passt.
3. Konfidenzniveau wählen (95 % ist üblich) und z bestimmen.
4. σ oder p ermitteln: aus der Historie, aus einer Vorabstichprobe von 15 bis 30 Teilen oder ersatzweise p = 0,5.
5. n berechnen, aufrunden und bei endlicher Grundgesamtheit korrigieren.
6. Zufällig oder geschichtet nach Schicht, Maschine und Los ziehen und in der Strichliste festhalten.

Stichprobenumfang, AQL und Regelkarten

Häufige Fehler

• Abrunden. Das berechnete n ist ein Minimum; 61,47 wird zu 62.
• σ oder p ohne Grundlage raten. Eine kleine Vorabstichprobe oder die Historie liefert die bessere Schätzung und macht die Rechnung belastbar.
• Nicht repräsentative Stichprobe. Nur zu Schichtbeginn oder an einer Maschine zu erheben verzerrt das Ergebnis, egal wie groß n ist.
• Das Messsystem ignorieren. Mehr Teile beheben kein schlechtes Messmittel. Siehe MSA und Gauge R&R.
• Die Anteilsformel bei sehr wenigen Fehlern anwenden, ohne zu prüfen, ob die Stichprobe genug Fehlerereignisse enthält, damit die Schätzung sinnvoll ist.
• Die endliche Grundgesamtheit vergessen und bei kleinen Losen mehr Teile prüfen als nötig.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Stichprobenumfang?

Für den Mittelwert gilt n = (z × σ ÷ E)², für den Anteil n = z² × p × (1 − p) ÷ E². Immer aufrunden.

Welchen z-Wert verwende ich?

1,645 für 90 % Konfidenz, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %.

Was tun, wenn Standardabweichung oder Anteil unbekannt sind?

Historische Daten oder eine Vorabstichprobe von 15 bis 30 Teilen zur Schätzung von σ nutzen. Für einen Anteil ohne Information gilt p = 0,5, das ergibt das größte n.

Worin unterscheiden sich Stichprobenumfang und AQL-Plan?

Der Stichprobenumfang schätzt ein Merkmal mit Fehlerspanne. Ein AQL-Plan legt fest, wie viele Teile zu prüfen und wie viele fehlerhafte zulässig sind, um ein Los freizugeben.

Wann brauche ich die Endlichkeitskorrektur?

Wenn die Stichprobe mehr als etwa 5 % des Losumfangs ausmacht. Mit N = 1.000 sinkt n im Beispiel von 385 auf 278.

Wie viele Teile genügen für die Berechnung des Cpk?

Als Praxisrichtwert 30 bis 50 Messwerte unter stabilen Bedingungen; idealerweise richtet sich der Umfang nach der Genauigkeit, die die Studie verlangt.

Über den Autor

Vagner Soares

Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement

Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.

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