Normalverteilung und Standardabweichung in der Fertigung

Normalverteilung und Standardabweichung: Grundlagen

Die Normalverteilung ist die glockenförmige Kurve, die beschreibt, wie sich Messwerte eines stabilen Prozesses um den Mittelwert verteilen. Die Standardabweichung (σ) quantifiziert diese Streuung: Je größer sie ist, desto breiter die Kurve und desto mehr Teile liegen weit vom Sollwert entfernt.

In der Fertigung beantworten beide Kennwerte eine Grundfrage der Qualität: Welcher Anteil der Teile liegt bei dem, was der Prozess heute leistet, außerhalb der Toleranz? Sie sind die Grundlage von Cp und Cpk, von SPC-Regelkarten und vom Sigma-Level.

Visuelle Karte der Normalverteilung

Die Karte zeigt die Kurve mit 1, 2 und 3 Sigma, die Formel der Standardabweichung und das Beispiel der 25-mm-Welle.

Mittelwert, Standardabweichung und die 68-95-99,7-Regel

Der Mittelwert (x̄) ist die Mitte der Kurve. Die Stichproben-Standardabweichung (s) wird aus den erhobenen Messwerten berechnet:

x̄ = Σx ÷ n    s = √[ Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) ]

Bei einer Normalverteilung ist der Anteil der Teile in jedem Bereich um den Mittelwert festgelegt. Er hängt nicht von der Messgröße ab, ob Millimeter, Gramm oder Sekunden:

Das ist die empirische Regel: etwa 68 % innerhalb von ±1σ, 95 % innerhalb von ±2σ und 99,73 % innerhalb von ±3σ. Deshalb sagt man, die natürliche Streubreite eines Prozesses umfasst 6σ.

Beispiel: Durchmesser einer 25-mm-Welle

Illustratives Beispiel. Eine Welle hat die Spezifikation 25,00 ± 0,05 mm (Grenzen 24,95 und 25,05). Zehn aufeinanderfolgende Teile wurden gemessen: 25,02; 24,98; 25,01; 25,03; 24,99; 25,00; 24,97; 25,02; 25,01; 24,99.

1. Mittelwert: Summe = 250,02, also x̄ = 250,02 ÷ 10 = 25,002 mm.
2. Summe der quadrierten Abweichungen: Σ(x − x̄)² = 0,00336.
3. Stichprobenvarianz: 0,00336 ÷ (10 − 1) = 0,000373.
4. Standardabweichung: s = √0,000373 = 0,0193 mm.

Für glatte Zahlen nehmen wir einen Prozess mit Mittelwert 25,00 und σ = 0,02 mm an. Die obere Grenze liegt bei (25,05 − 25,00) ÷ 0,02 = 2,5 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt, die untere ebenso.

z = (Grenze − Mittelwert) ÷ σ = 0,05 ÷ 0,02 = 2,5

In der Tabelle der Standardnormalverteilung beträgt die Fläche jenseits von z = 2,5 auf jeder Seite 0,62 %. Beide Seiten zusammen ergeben 1,24 % der Teile (etwa 12.400 ppm) außerhalb der Toleranz. Bei 1.000 Wellen pro Tag sind das rund 12 Ausschuss- oder Nacharbeitsteile.

Dasselbe Beispiel liefert den Cp: Toleranz ÷ 6σ = 0,10 ÷ 0,12 = 0,83. Unter 1 passt der Prozess nicht in die Toleranz; die Berechnung von Cp und Cpk zeigt, wie man zentriert und die Streuung senkt.

Anwendung in der Fertigung

1. Erheben Sie 30 bis 50 Messwerte unter stabilen Bedingungen, mit einer Strichliste.
2. Erstellen Sie ein Histogramm und prüfen Sie, ob es einer Glocke ähnelt.
3. Berechnen Sie x̄ und s (Tabellenkalkulation oder statistischer Taschenrechner).
4. Rechnen Sie jede Spezifikationsgrenze in z um und lesen Sie die Fläche in der Normalverteilungstabelle ab.
5. Ist der Anteil außerhalb hoch, korrigieren Sie zuerst die Lage (Mittelwert), dann die Streuung (σ).

Wann die Normalverteilung nicht passt

Nicht jedes Merkmal ist symmetrisch. Daten mit natürlicher Grenze bei null (Ebenheit, Rundlaufabweichung, Rauheit, Reparaturzeit) sind schief verteilt. Fehlerzahlen folgen anderen Modellen, etwa der Poisson-Verteilung. Hier über- oder unterschätzt die 68-95-99,7-Regel das Risiko. Für attributive Daten ist die p-Karte der richtige Weg.

Häufige Fehler

• σ und s verwechseln. σ ist der wahre Prozesswert; s ist die Schätzung aus der Stichprobe und wird mit mehr Daten verlässlicher.
• Durch n statt n − 1 teilen bei kleiner Stichprobe, wodurch die Streuung unterschätzt wird.
• Normalverteilung ohne Blick auf das Histogramm oder bei instabilem Prozess annehmen. Ohne Stabilität beschreibt σ nicht die Zukunft.
• Die Auflösung des Messmittels ignorieren. Bringt das Messsystem viel Streuung ein, enthält das berechnete σ den Messfehler. Siehe MSA und Gauge R&R.
• Lose, Maschinen oder Schichten in einer Stichprobe mischen und das erhaltene σ dem Prozess zuschreiben.
• Nur den Mittelwert betrachten. Zwei Linien mit gleichem Mittelwert können sehr unterschiedliche σ haben, und die schlechtere erzeugt Ausschuss.

Häufige Fragen

Was ist eine Normalverteilung?

Die symmetrische, glockenförmige Kurve um den Mittelwert, die die natürliche Streuung vieler Prozessmerkmale wie Maße und Gewichte beschreibt.

Was ist die Standardabweichung?

Sie misst, wie weit die Werte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen. Sie hat dieselbe Einheit wie die Messgröße (mm, g, s).

Worin unterscheiden sich Stichproben- und Grundgesamtheits-Standardabweichung?

Die Stichprobenversion (s) teilt durch n − 1 und schätzt die Streuung aus einer Stichprobe. Die Grundgesamtheitsversion (σ) teilt durch n und gilt, wenn alle Daten vorliegen.

Was bedeutet die 68-95-99,7-Regel?

Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68,27 % der Werte innerhalb ±1σ, 95,45 % innerhalb ±2σ und 99,73 % innerhalb ±3σ um den Mittelwert.

Wie berechne ich den Anteil der Teile außerhalb der Toleranz?

Jede Grenze in z = (Grenze − Mittelwert) ÷ σ umrechnen, die Fläche jenseits von z in der Standardnormalverteilungstabelle ablesen und beide Seiten addieren. Im Beispiel ergibt z = 2,5 einen Anteil von 1,24 %.

Wie viele Messwerte brauche ich, um die Standardabweichung zu schätzen?

Als Praxisrichtwert 30 bis 50 unter stabilen Bedingungen. Zur Festlegung mit Fehlerspanne siehe den Beitrag zum Stichprobenumfang.

Über den Autor

Vagner Soares

Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement

Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.

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