CUSUM- und EWMA-Regelkarte: kleine Prozessverschiebungen erkennen

Was CUSUM- und EWMA-Regelkarten sind

Die CUSUM-Karte (kumulative Summe) und die EWMA-Karte (exponentiell gewichteter gleitender Mittelwert) sind Regelkarten zur Erkennung kleiner Verschiebungen des Prozessmittelwerts, etwa 0,5 bis 2 Standardabweichungen, die eine Shewhart-Karte erst spät bemerkt. Beide haben ein Gedächtnis: Jede neue Stichprobe wird zur Historie addiert, statt einzeln beurteilt zu werden.

In der klassischen statistischen Prozessregelung (SPC) löst ein Punkt nur dann Alarm aus, wenn er außerhalb der 3-Sigma-Grenzen liegt. Eine Verschiebung um 1 Sigma erzeugt diesen einzelnen Punkt kaum, wohl aber eine Folge von Punkten leicht über dem Sollwert. CUSUM und EWMA summieren diese Folge, bis sie eindeutig wird.

Visuelle Karte zu CUSUM und EWMA

Die Karte fasst beide Formeln, die Parameter und das Beispiel mit 26 Stichproben zusammen, in dem die 1-Sigma-Verschiebung nur in den Karten mit Gedächtnis sichtbar wird.

Formeln für tabellarischen CUSUM und EWMA

Beim tabellarischen CUSUM verfolgen zwei Summen die Abweichung nach oben (C+) und nach unten (C−) vom Sollwert μ0:

C+_i = max[0; x_i − (μ0 + K) + C+_i−1]    C−_i = max[0; (μ0 − K) − x_i + C−_i−1]

K ist der Toleranzwert (Referenzwert), meist K = 0,5σ, um Verschiebungen von 1σ zu erkennen. Der Alarm wird ausgelöst, wenn C+ oder C− das Entscheidungsintervall H überschreitet, üblicherweise H = 5σ. Die Summen werden nie negativ: Das Maximum mit null lässt die Karte Zeiträume „vergessen“, in denen der Prozess auf der guten Seite lag.

Bei der EWMA ist jeder eingetragene Punkt ein gewichteter Mittelwert aus aktueller Stichprobe und Vorwert:

z_i = λ · x_i + (1 − λ) · z_i−1, mit z₀ = μ0

Grenzen = μ0 ± L · σ · √[ λ ÷ (2 − λ) · (1 − (1 − λ)²ⁱ) ]  →  μ0 ± L · σ · √[ λ ÷ (2 − λ) ]

Die zweite Form ist die asymptotische Grenze, gültig nach den ersten Stichproben. Für λ = 0,2 und L = 3 beträgt der Faktor √[0,2 ÷ 1,8] genau 0,3333; die Grenzen liegen bei μ0 ± 3 × σ × 0,3333.

Rechenbeispiel: Mittelwert 50, Sigma 2, Anstieg um 1 Sigma

Fiktives Beispiel: Ein Maß hat den Sollwert μ0 = 50 und σ = 2, aus der Historie mit einer I-MR-Karte geschätzt. Pro Schicht wird ein Einzelwert gemessen. Ab Stichprobe 11 steigt der Mittelwert auf etwa 52 (Verschiebung um 1σ). Parameter: K = 1 (0,5σ), H = 10 (5σ), λ = 0,2 und L = 3; die EWMA-Grenzen liegen damit bei 50 ± 2,0, also 48,0 und 52,0.

Ergebnisse des Beispiels:

• Shewhart: Grenzen von 44 bis 56 (50 ± 3 × 2). Der größte Wert ist 52,9, also liegt kein Punkt außerhalb und es gibt in den 26 Stichproben keinen Alarm.
• CUSUM: C+ überschreitet H = 10 bei Stichprobe 23 (11,3). Die letzte Null von C+ lag bei Stichprobe 10, die Verschiebung begann also danach. Der geschätzte neue Mittelwert beträgt 50 + 1 + 11,3 ÷ 13 ≈ 51,87.
• EWMA: z überschreitet 52,0 bei Stichprobe 26 (52,151). Mit λ = 0,2 reagiert sie hier langsamer, filtert aber das Rauschen jedes Punktes.

Bei einer Shewhart-Karte mit 3σ-Grenzen dauert eine Verschiebung um 1σ im Mittel etwa 44 Stichproben bis zu einem Punkt außerhalb (1 ÷ 0,0228). Im Beispiel meldete der CUSUM 13 Stichproben nach der Änderung.

Shewhart, CUSUM oder EWMA: wann welche Karte

Setzen Sie CUSUM oder EWMA dort ein, wo schon ein kleiner Drift teuer wird: langsamer Werkzeugverschleiß, Temperaturdrift, Badkonzentration, Prozesse mit einem Messwert pro Los. Lassen Sie die x̄-R-Karte oder die I-MR-Karte parallel laufen, um abrupte Änderungen zu erfassen.

K, H, λ und L richtig wählen

• K = δ ÷ 2, in Einheiten von σ, wobei δ die zu erkennende Verschiebung ist. Für 1σ gilt K = 0,5σ.
• H zwischen 4σ und 5σ ist üblich. Ein größeres H senkt Fehlalarme und verzögert die Erkennung.
• λ zwischen 0,05 und 0,25. Ein kleines λ gibt mehr Gedächtnis und erkennt kleine Drifts besser; mit λ = 1 wird die EWMA zur Shewhart-Karte.
• L zwischen 2,6 und 3,0, passend zu λ gewählt, um die gewünschte Fehlalarmrate zu halten. Im Zweifel in der Literatur die ARL-Tabellen (mittlere Lauflänge) prüfen.
• Ein verlässliches σ: in stabiler Prozessphase schätzen, bevor die Karten eingesetzt werden. Die Normalverteilung ist die Ausgangsannahme.

Häufige Fehler und Grenzen

• Ein überschätztes σ verwenden: CUSUM und EWMA werden gerade für die kleinen Verschiebungen taub.
• Einsatz bei autokorrelierten Daten ohne Modellierung der Autokorrelation, was Fehlalarme erzeugt.
• Den CUSUM nach einem Alarm zurücksetzen, ohne die Ursache zu untersuchen. Der Alarm verlangt eine Maßnahme, nicht nur einen Neustart.
• K und H ändern, bis die Karte nach Ansicht der Daten „gut aussieht“.
• Die Shewhart-Karte aufgeben. Karten mit Gedächtnis sind bei großen Sprüngen langsamer.
• Den Grenzen mit zu wenigen Stichproben vertrauen: Zuerst muss der Prozess stabilisiert werden.

Häufige Fragen

Wofür dient die CUSUM-Karte?

Sie erkennt kleine, anhaltende Verschiebungen des Mittelwerts, indem sie Abweichungen vom Sollwert summiert, bis sie die Grenze H überschreiten.

Was ist der Unterschied zwischen CUSUM und EWMA?

Der CUSUM summiert alle Abweichungen (gleich gewichtet) seit der letzten Null; die EWMA gewichtet neuere Stichproben stärker und ältere schwächer.

Wann sind CUSUM und EWMA besser als x̄-R?

Wenn die relevante Verschiebung klein ist, zwischen 0,5σ und 2σ, und sie früher erkannt werden soll als mit einer Shewhart-Karte.

Welche Werte für K und H sind sinnvoll?

K = 0,5σ und H = 5σ sind der Ausgangspunkt, um eine Verschiebung von 1σ zu erkennen.

Welches λ gilt für die EWMA?

Zwischen 0,05 und 0,25. Werte wie 0,1 und 0,2 sind üblich; je kleiner, desto empfindlicher gegenüber kleinen Drifts.

Funktioniert das mit Einzelwerten?

Ja. Beide Karten arbeiten mit Einzelwerten, und das Beispiel oben nutzt eine Messung pro Schicht.

Über den Autor

Vagner Soares

Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement

Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.

LinkedInInstagramVollständiges Profil →