Qué es la programación lineal
La programación lineal es una técnica de optimización que encuentra el mejor valor, máximo o mínimo, de una función objetivo respetando un conjunto de restricciones lineales. En la industria responde preguntas como: ¿cuánto fabricar de cada producto para obtener el mayor margen con las horas de máquina y de mano de obra disponibles?
El método simplex, creado por George Dantzig en 1947, es el algoritmo que resuelve estos problemas recorriendo los vértices de la región factible hasta encontrar el óptimo.
Mapa visual de la programación lineal
El mapa muestra los elementos del modelo, la región factible con sus cuatro vértices, la solución óptima y el paso a paso del simplex.
Elementos del modelo
| Elemento | Significado | En el ejemplo |
|---|---|---|
| Variables de decisión | Lo que se quiere determinar | x = cantidad del producto A; y = cantidad del producto B |
| Función objetivo | Lo que se quiere maximizar o minimizar | Z = 40x + 30y (margen total) |
| Restricciones | Límites de los recursos | 2x + y ≤ 100 y x + 2y ≤ 80 |
| No negatividad | No existe producción negativa | x ≥ 0 e y ≥ 0 |
| Región factible | Puntos que cumplen todas las restricciones | Polígono con vértices (0,0), (50,0), (40,20) y (0,40) |
Ejemplo: mezcla de producción de dos productos
Cada unidad de A deja un margen de 40 y cada unidad de B, de 30. La primera restricción puede representar horas de máquina (A usa 2 horas, B usa 1, hay 100 disponibles); la segunda, horas de ensamble (A usa 1, B usa 2, hay 80 disponibles).
Maximizar Z = 40x + 30y | 2x + y ≤ 100 | x + 2y ≤ 80 | x, y ≥ 0
Método gráfico: evaluar los vértices
Con dos variables se pueden dibujar las restricciones y ver la región factible. La solución óptima siempre está en un vértice:
| Vértice (x, y) | Z = 40x + 30y | Observación |
|---|---|---|
| (0, 0) | 0 | Origen |
| (50, 0) | 2.000 | Solo el producto A |
| (0, 40) | 1.200 | Solo el producto B |
| (40, 20) | 2.200 | Intersección de las dos restricciones: óptimo |
La solución óptima es fabricar 40 unidades de A y 20 de B, con Z = 2.200. En ese punto ambas restricciones están al límite: 2 × 40 + 20 = 100 y 40 + 2 × 20 = 80.
Cómo llega el simplex al mismo resultado
- Formula el problema: función objetivo y restricciones.
- Convierte a la forma estándar: agrega variables de holgura (2x + y + s1 = 100; x + 2y + s2 = 80).
- Arma la tabla inicial, partiendo del origen.
- Itera: entra a la base la variable que más mejora Z y sale la que limita primero.
- Verifica la optimalidad: cuando ninguna variable mejora Z, la solución es óptima.
- Interpreta: x = 40, y = 20, holguras en cero y Z = 2.200.
En problemas reales nadie arma las tablas a mano: el Solver de Excel, con el método Simplex LP, resuelve cientos de variables en segundos.
Precio sombra: cuánto vale una hora más
El análisis de sensibilidad indica cuánto mejora Z si se relaja una restricción. En el ejemplo, una hora más de máquina aumenta Z en unos 16,67 y una hora más de ensamble, en unos 6,67. Esos precios sombra indican dónde invertir: conviene más ampliar la máquina que el ensamble, siempre que la hora extra cueste menos que la ganancia.
La misma lógica aparece en la teoría de restricciones: el recurso con mayor precio sombra es el cuello de botella económico.
Aplicaciones
- Planificación de la producción: mezcla óptima de productos y apoyo a la planificación y control de la producción.
- Problemas de corte: menos desperdicio al cortar chapas, bobinas y barras.
- Logística: transporte y asignación de cargas al menor costo.
- Mezclas: alimentos balanceados, aleaciones y combustibles al menor costo cumpliendo la especificación.
- Turnos de trabajo y asignación de recursos.
Errores comunes
- Modelar mal la función objetivo, mezclando ingreso con margen.
- Olvidar restricciones, lo que produce soluciones imposibles en planta.
- Signo equivocado (≤ en lugar de ≥).
- Ignorar que las variables deben ser enteras cuando se trata de piezas; en ese caso, usa programación entera.
- Aplicar el resultado sin validar que tenga sentido para la operación.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la programación lineal?
Es una técnica de optimización que maximiza o minimiza una función lineal sujeta a restricciones lineales, como recursos limitados.
¿Qué es el método simplex?
Es el algoritmo creado por George Dantzig que recorre los vértices de la región factible hasta encontrar la solución óptima.
¿Cuál es la solución del ejemplo?
Fabricar 40 unidades de A y 20 de B, con Z = 2.200, en el vértice donde se cruzan las dos restricciones.
¿Cómo se resuelve en Excel?
Con el complemento Solver: define la celda objetivo, las celdas variables y las restricciones, y elige el método Simplex LP.
¿Qué es el precio sombra?
Es cuánto mejora la función objetivo con una unidad más de un recurso limitado.
Fuentes
- DANTZIG, G. B. Linear Programming and Extensions. Princeton: Princeton University Press, 1963.
- HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introducción a la investigación de operaciones. México: McGraw-Hill.
- TAHA, H. A. Investigación de operaciones. México: Pearson.
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Sobre el autor
Especialista en Lean Manufacturing y Gestión del Comportamiento
Más de 20 años en la industria automotriz y metalmecánica (GM y Dana), especialista en Lean Manufacturing desde 2006. Instructor y mentor del SENAI en el programa Brasil Mais Produtivo, con consultorías, capacitaciones y auditorías en más de 50 empresas, uniendo calidad, productividad y desarrollo de personas.