Was die Warteschlangentheorie ist
Die Warteschlangentheorie untersucht, wie Ankünfte und Bedienung Wartezeiten erzeugen. Sie hilft bei der Auslegung von Werkzeugausgaben, Instandhaltungsteams, Laderampen und jeder Ressource, die zufällig eintreffende Anforderungen bedient.
Mindmap: Warteschlangentheorie
Die Mindmap zeigt das M/M/1-Modell, die Formeln, die Ergebnisse und das Diagramm der Wartezeit.
Das M/M/1-Modell
M/M/1 steht für zufällige (Poisson-)Ankünfte, zufällige (exponentialverteilte) Bedienzeiten und einen Bediener.
| Kennzahl | Formel |
|---|---|
| Auslastung (ρ) | λ ÷ μ |
| Anzahl im System (L) | ρ ÷ (1 − ρ) |
| Anzahl in der Warteschlange (Lq) | ρ² ÷ (1 − ρ) |
| Verweilzeit im System (W) | 1 ÷ (μ − λ) |
| Wartezeit (Wq) | ρ ÷ (μ − λ) |
Beispiel: 8 Ankünfte und 10 Bedienungen pro Stunde
| Ergebnis | Wert |
|---|---|
| Auslastung | 8 ÷ 10 = 80 % |
| Anzahl im System | 4 |
| Anzahl in der Warteschlange | 3,2 |
| Verweilzeit im System | 1 ÷ (10 − 8) = 0,5 Std. = 30 Min. |
| Wartezeit | 0,8 ÷ 2 = 0,4 Std. = 24 Min. |
Die Zahlen erfüllen das Little'sche Gesetz: L = λ × W = 8 × 0,5 = 4 Kunden.
Warum man nie auf 100 % Auslastung plant
Nahe 100 % explodiert die Wartezeit. Bei 10 Bedienungen pro Stunde: 8 Ankünfte ergeben 24 Minuten Wartezeit in der Schlange; 9 Ankünfte (90 %) ergeben 54 Minuten; 9,5 Ankünfte (95 %) ergeben etwa 1 Std. 54 Min. Etwas freie Kapazität erkauft viel Reaktionsfähigkeit. Dieselbe Logik steckt hinter dem Engpass und der Überlastung (Muri).
So verkürzen Sie Warteschlangen
- Die Bedienkapazität erhöhen oder zu Spitzenzeiten einen Bediener ergänzen.
- Die Schwankung der Ankünfte durch Terminierung oder Glättung (Heijunka) verringern.
- Die Schwankung der Bedienzeiten durch standardisierte Arbeit verringern.
- Nacharbeit vermeiden, denn sie kehrt in die Warteschlange zurück.
Häufige Fehler
- Mit 100 % Auslastung planen.
- Die Schwankung der Ankünfte ignorieren.
- M/M/1 verwenden, obwohl mehrere Bediener vorhanden sind (dann M/M/c nutzen).
- Kapazität ohne reale Daten auslegen.
Häufige Fragen
Was ist das M/M/1-Modell?
Eine Warteschlange mit zufälligen Ankünften, zufälligen Bedienzeiten und einem einzigen Bediener.
Wie berechnet man die Auslastung?
Man teilt die Ankunftsrate durch die Bedienrate: ρ = λ ÷ μ.
Wie lang ist die Wartezeit im Beispiel?
24 Minuten in der Warteschlange und 30 Minuten im System.
Was ist das Little'sche Gesetz?
L = λ × W: Die durchschnittliche Anzahl im System entspricht der Ankunftsrate mal der Verweilzeit im System.
Warum nicht mit 100 % Auslastung fahren?
Weil die Wartezeit unbegrenzt wächst, wenn sich die Auslastung 100 % nähert.
Quellen
- LITTLE, J. D. C. A proof for the queuing formula L = λW. Operations Research, v. 9, 1961.
- HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introduction to Operations Research. New York: McGraw-Hill.
- HOPP, W. J.; SPEARMAN, M. L. Factory Physics. Long Grove: Waveland Press.
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Über den Autor
Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement
Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.
