Versuchsplanung DoE faktoriell: 2²-Plan mit Beispiel

Was ist DoE und der faktorielle 2²-Plan

Die statistische Versuchsplanung (DoE, Design of Experiments) variiert mehrere Faktoren gleichzeitig nach einem festen Plan, um den Einfluss jedes Faktors auf die Zielgröße und auch deren Zusammenwirken zu messen. Der faktorielle 2²-Versuchsplan ist der einfachste: 2 Faktoren, je 2 Stufen (niedrig und hoch), 4 Kombinationen.

Statt einen Faktor nach dem anderen zu verstellen, fahren Sie alle vier Kombinationen und rechnen alles aus denselben Daten. So wird die Wechselwirkung sichtbar: Der Effekt eines Faktors hängt von der Stufe des anderen ab, was die Ein-Faktor-Methode nie erkennt.

Visuelle Übersicht zum 2²-Plan

Die Übersicht fasst Versuchsmatrix, Effektquadrat mit Wechselwirkung, Formeln und das durchgerechnete Beispiel dieses Artikels zusammen.

Warum faktoriell statt jeweils ein Faktor

Bei zwei Faktoren braucht die Ein-Faktor-Methode (OFAT) mindestens 3 Läufe und misst jeden Faktor nur bei einer festen Einstellung des anderen. Der faktorielle Plan nutzt 4 Läufe, aber jeder Lauf fließt in jeden Effekt ein. Mit Wiederholungen lässt sich zusätzlich der Versuchsfehler schätzen.

• Effizienz: Jeder Effekt ist ein Mittelwert aus 2 gegen 2 Läufen, kein Vergleich 1 gegen 1.
• Wechselwirkung: Sie zeigt sich nur, wenn Faktoren gemeinsam variiert werden.
• Orthogonalität: Die Spalten A, B und AB sind unabhängig, die Effekte vermischen sich nicht.

Welche Faktoren in den Versuch kommen, klären Sie vorab mit einem Ishikawa-Diagramm oder einer FMEA. DoE gehört in die Improve-Phase von DMAIC.

Durchgerechnetes Beispiel: Siegeln von Verpackungen

Fiktives Beispiel. Eine Siegelmaschine muss eine Siegelnahtfestigkeit von mindestens 60 N erreichen. Faktoren: A = Temperatur (140 °C auf Stufe −, 160 °C auf +) und B = Siegelzeit (0,5 s auf −, 1,0 s auf +). Zielgröße: Siegelnahtfestigkeit in N. Je Kombination wurden 2 Wiederholungen gefahren (8 Läufe), in zufälliger Reihenfolge.

Die Spalte AB ist das Produkt der Vorzeichen von A und B. Schreibweise: (1) = beide niedrig; a = nur A hoch; b = nur B hoch; ab = beide hoch.

Berechnung der Effekte

Effekt A = (a + ab − (1) − b) ÷ 2  |  Effekt B = (b + ab − (1) − a) ÷ 2  |  Effekt AB = (ab + (1) − a − b) ÷ 2

Gesamtmittelwert = (40 + 52 + 48 + 70) ÷ 4 = 52,5 N. Eine Erhöhung der Temperatur von 140 auf 160 °C steigert die Festigkeit im Mittel um 17 N; eine längere Zeit von 0,5 auf 1,0 s um 13 N.

Die Wechselwirkung zeigt das Effektquadrat: Der Gewinn durch A beträgt 52 − 40 = 12 N bei niedrigem B und 70 − 48 = 22 N bei hohem B. Die Differenz (10 N) geteilt durch 2 ergibt den Effekt AB = 5 N. Die Faktoren verstärken sich: Das beste Ergebnis entsteht, wenn beide hoch gestellt werden.

Signifikanz: echter Effekt oder Rauschen?

Die Wiederholungen liefern den reinen Fehler. Jedes Paar weicht um 2 N ab, die Varianz innerhalb eines Paares ist also 2 und die gepoolte Varianz (MQE) beträgt 2,0 bei 4 Freiheitsgraden (4 Paare × 1). Mit N = 8 Läufen ist der Standardfehler eines Effekts:

SE = √(4 × MQE ÷ N) = √(4 × 2 ÷ 8) = 1,0 N

Der kritische t-Wert bei 4 Freiheitsgraden und 5 % (zweiseitig) ist 2,776. Jeder Effekt über 2,776 × 1,0 ≈ 2,8 N ist daher signifikant. Alle drei Effekte (17, 13 und 5 N) liegen deutlich darüber. In der Varianzanalyse ergibt sich die Quadratsumme je Effekt als N × Effekt² ÷ 4: A = 578, B = 338, AB = 50 und Fehler = 8 (gesamt 974). Das F von AB ist 50 ÷ 2 = 25 und liegt über dem kritischen Wert 7,71 für (1; 4) bei 5 %.

Modell und Vorhersage

Festigkeit = 52,5 + 8,5·A + 6,5·B + 2,5·A·B (A und B kodiert als −1 und +1)

Die Koeffizienten sind die halben Effekte. Kontrolle: bei ab ergibt 52,5 + 8,5 + 6,5 + 2,5 = 70 N. Nur 160 °C mit 1,0 s erfüllt die Anforderung von 60 N. Im Zentrum (150 °C und 0,75 s) sagt das Modell 52,5 N voraus, unter dem Minimum. Um die Krümmung zwischen den Stufen zu schätzen, ergänzen Sie Zentralpunkte im Plan.

So planen Sie einen faktoriellen Versuch

1. Zielgröße, Messverfahren und Erfolgskriterium festlegen. Das Messsystem vorher mit MSA und Gauge R&R absichern.
2. Faktoren und Stufen wählen: weit genug für einen messbaren Effekt, aber prozesssicher.
3. Die Versuchsmatrix mit Vorzeichen − und + aufstellen.
4. Wiederholungen festlegen. Ohne Wiederholung gibt es keine Fehlerschätzung.
5. Die Reihenfolge der Läufe randomisieren, damit Maschinendrift, Schicht oder Materialcharge nicht mit den Effekten vermengt werden.
6. Fahren, dokumentieren, Effekte und Signifikanz berechnen.
7. Das Optimum mit zusätzlichen Läufen bestätigen und im Produktionslenkungsplan festschreiben. Mit Regelkarten (SPC) überwachen.

Wann einsetzen und wann weitergehen

Der 2²-Plan eignet sich für das Screening und die erste Optimierung mit 2 Faktoren. Bei 3 Faktoren wird daraus ein 2³-Plan (8 Kombinationen). Ab 4 oder 5 Faktoren nutzen Sie teilfaktorielle Pläne, die Läufe sparen und dafür Effekte vermengen. Für Krümmung und ein inneres Optimum dient die Wirkungsflächenmethodik (Response Surface). Die statistische Entscheidung folgt der Logik des Hypothesentests: Die Nullhypothese lautet Effekt gleich null.

Häufige Fehler und Grenzen

• Keine Randomisierung: Erst alle niedrigen, dann alle hohen Stufen zu fahren, vermischt den Faktoreffekt mit der Zeit.
• Keine Wiederholung: Ohne Wiederholungen verbrauchen 4 Läufe alle Freiheitsgrade, ein Test ist nicht möglich.
• Stufen zu eng: Der Effekt geht im Rauschen unter, nichts wird signifikant.
• Wechselwirkung übersehen: A und B getrennt zu deuten, obwohl AB groß ist, führt zu falschen Einstellungen.
• Extrapolieren: Das Modell gilt nur innerhalb von 140–160 °C und 0,5–1,0 s; außerhalb ist es Spekulation.
• Schlechte Messung: Ein Messmittel mit großer Streuung verdeckt reale Effekte.

Häufige Fragen

Was bedeutet 2² in der Versuchsplanung?

Zwei Faktoren mit je zwei Stufen, also 2 × 2 = 4 Versuchskombinationen.

Wie berechnet man den Effekt eines Faktors?

Mittelwert der Zielgröße auf der hohen Stufe minus Mittelwert auf der niedrigen Stufe. Im Beispiel: Effekt A = (52 + 70) ÷ 2 − (40 + 48) ÷ 2 = 17 N.

Was ist eine Wechselwirkung im DoE?

Der Effekt eines Faktors ändert sich mit der Stufe des anderen. Im Beispiel bringt A 12 N bei niedrigem B und 22 N bei hohem B.

Brauche ich Wiederholungen?

Ja, um den Versuchsfehler zu schätzen und die Signifikanz zu prüfen. Ohne Wiederholungen bleiben nur Effektdiagramme oder ein größerer Plan.

Warum werden die Läufe randomisiert?

Damit nicht kontrollierte Einflüsse wie Maschinendrift oder Materialcharge nicht mit den untersuchten Effekten vermengt werden.

Worin unterscheidet sich DoE vom Ein-Faktor-Versuch?

DoE variiert die Faktoren gemeinsam, nutzt jeden Lauf für jeden Effekt und erkennt Wechselwirkungen; der Ein-Faktor-Versuch nicht.

Über den Autor

Vagner Soares

Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement

Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.

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