- Was die einfache lineare Regression ist
- Visuelle Übersicht zur linearen Regression
- Formeln der kleinsten Quadrate
- Durchgerechnetes Beispiel: Aushärtetemperatur und Festigkeit
- R², Residuen und Standardfehler
- Die Gerade für Prognosen nutzen
- Vorgehen in sechs Schritten
- Häufige Fehler und Grenzen
- Häufige Fragen
Was die einfache lineare Regression ist
Die lineare Regression legt eine Gerade durch die Messwerte zweier Größen und beschreibt, wie sich eine Zielgröße (Y) ändert, wenn sich eine Einflussgröße (X) ändert. In der Fertigung beantwortet sie Fragen wie: Wie stark steigt die Festigkeit je Grad mehr im Aushärteofen?
Das Streudiagramm und die Korrelation zeigen, ob und wie stark ein Zusammenhang besteht. Die Regression liefert die Gleichung: Sie erlaubt Prognosen für Y, die Bestimmung des nötigen X für einen Zielwert und die Quantifizierung des Effekts. Das Modell lautet Y = a + b·X + Fehler, mit Achsenabschnitt a und Steigung b.
Visuelle Übersicht zur linearen Regression
Die Übersicht fasst Gerade, Koeffizienten, R² und Prognose des Beispiels mit 8 Messpunkten zusammen.
Formeln der kleinsten Quadrate
Gewählt wird die Gerade, die die Summe der quadrierten Residuen (senkrechter Abstand jedes Punkts zur Geraden) minimiert. Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ ergeben sich die Koeffizienten aus zwei Summen:
b = Sxy ÷ Sxx a = ȳ − b·x̄
mit Sxx = Σ(x − x̄)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ). Die Anpassungsgüte misst das Bestimmtheitsmaß:
R² = 1 − SQR ÷ SQT
SQR ist die Residuenquadratsumme und SQT = Σ(y − ȳ)². R² liegt zwischen 0 und 1 und gibt den Anteil der Streuung von Y an, den die Gerade erklärt. Bei der einfachen Regression ist R² das Quadrat des Korrelationskoeffizienten r.
Durchgerechnetes Beispiel: Aushärtetemperatur und Festigkeit
Fiktives Beispiel: Eine Linie härtet einen Strukturklebstoff im Ofen aus. Das Labor prüfte 8 Temperaturen und ermittelte je Temperatur die Scherfestigkeit (MPa) einer Probe.
| Temp. X (°C) | Festigk. Y (MPa) | x − x̄ | y − ȳ | (x − x̄)² | (x − x̄)(y − ȳ) |
|---|---|---|---|---|---|
| 40 | 12,1 | -17,5 | -3,34 | 306,25 | 58,41 |
| 45 | 13,0 | -12,5 | -2,44 | 156,25 | 30,47 |
| 50 | 14,2 | -7,5 | -1,24 | 56,25 | 9,28 |
| 55 | 14,8 | -2,5 | -0,64 | 6,25 | 1,59 |
| 60 | 16,1 | 2,5 | 0,66 | 6,25 | 1,66 |
| 65 | 16,7 | 7,5 | 1,26 | 56,25 | 9,47 |
| 70 | 18,0 | 12,5 | 2,56 | 156,25 | 32,03 |
| 75 | 18,6 | 17,5 | 3,16 | 306,25 | 55,34 |
| Summe | 123,5 | 1050,00 | 198,25 |
Mittelwerte: x̄ = 460 ÷ 8 = 57,5 °C und ȳ = 123,5 ÷ 8 = 15,44 MPa. Ergebnisse: Sxx = 1.050 und Sxy = 198,25.
- Steigung: b = 198,25 ÷ 1.050 = 0,1888 MPa/°C.
- Achsenabschnitt: a = 15,4375 − 0,1888 × 57,5 = 4,58 MPa.
- Gleichung: Ŷ = 4,58 + 0,1888·X.
Praktisch heißt das: Je 1 °C mehr im geprüften Bereich steigt die Festigkeit um etwa 0,19 MPa, bei 10 °C mehr um rund 1,9 MPa.
R², Residuen und Standardfehler
| X (°C) | Y gemessen | Y berechnet | Residuum |
|---|---|---|---|
| 40 | 12,1 | 12,13 | -0,03 |
| 45 | 13,0 | 13,08 | -0,08 |
| 50 | 14,2 | 14,02 | 0,18 |
| 55 | 14,8 | 14,97 | -0,17 |
| 60 | 16,1 | 15,91 | 0,19 |
| 65 | 16,7 | 16,85 | -0,15 |
| 70 | 18,0 | 17,80 | 0,20 |
| 75 | 18,6 | 18,74 | -0,14 |
Die Residuenquadratsumme beträgt SQR = 0,187, SQT = 37,62. Damit ist R² = 1 − 0,187 ÷ 37,62 = 0,995: Die Gerade erklärt 99,5 % der Streuung der Festigkeit. Der Standardfehler der Regression ist s = √(0,187 ÷ 6) = 0,177 MPa (n − 2 = 6 Freiheitsgrade) und kennzeichnet den typischen Prognosefehler.
Ein hohes R² genügt nicht. Tragen Sie die Residuen über X auf: Sie sollen um null streuen, ohne Krümmung, ohne Trichterform und ohne Ausreißer. Hier liegen die Residuen zwischen −0,17 und +0,20 MPa ohne erkennbares Muster.
Die Gerade für Prognosen nutzen
Für X = 58 °C: Ŷ = 4,58 + 0,1888 × 58 = 15,53 MPa. Für X = 67 °C: Ŷ = 17,23 MPa. Beide Temperaturen liegen im geprüften Bereich (40 bis 75 °C); die Interpolation ist daher zulässig.
Fordert die Spezifikation mindestens 17 MPa, lösen Sie nach X auf: X = (17 − 4,58) ÷ 0,1888 ≈ 65,8 °C. Da die Prognose fehlerbehaftet ist, planen Sie einen Sicherheitsabstand ein und bestätigen Sie mit Versuchen.
Die Extrapolation ist ein anderer Fall. Bei 100 °C ergäbe die Gerade 23,5 MPa, doch diese Temperatur wurde nie geprüft: Der Klebstoff kann sich zersetzen, und der Zusammenhang ist nicht mehr linear. Verwenden Sie die Gleichung nur im Bereich der Daten.
Vorgehen in sechs Schritten
- Legen Sie X (die steuerbare Größe) und Y (die Zielgröße) fest.
- Erfassen Sie Wertepaare über den gesamten relevanten Bereich, gemessen mit einem fähigen Messsystem (siehe MSA und Gauge R&R).
- Zeichnen Sie das Streudiagramm und prüfen Sie, ob die Punktwolke annähernd geradlinig verläuft.
- Berechnen Sie b, a und R² in der Tabellenkalkulation oder Statistiksoftware.
- Analysieren Sie die Residuen und prüfen Sie, ob die Steigung b signifikant ist (Hypothesentest).
- Prognostizieren Sie nur im Datenbereich und validieren Sie mit neuen Versuchen.
Wirken mehrere Faktoren zusammen, genügt die einfache Regression nicht: Planen Sie die Versuche mit einem faktoriellen DoE, um die Effekte zu trennen. Auch der Datenumfang zählt; siehe Stichprobenumfang.
Häufige Fehler und Grenzen
- Korrelation mit Kausalität verwechseln: Die Gerade beschreibt einen Zusammenhang; nur ein kontrollierter Versuch belegt die Ursache.
- Extrapolieren über den Datenbereich hinaus.
- Residuen ignorieren: Ein hohes R² mit gekrümmten Residuen zeigt, dass das lineare Modell nicht passt.
- Wenige oder gehäufte Punkte: Ein einzelner Extremwert kann die Gerade verziehen.
- Daten eines instabilen Prozesses: Driftet der Prozess, stabilisieren Sie ihn zuerst mit SPC.
- Schlechte Messung: Messabweichungen senken R² und verfälschen die Steigung.
Häufige Fragen
Was ist die einfache lineare Regression?
Ein Verfahren, das eine Gerade Y = a + b·X an die Daten zweier Größen anpasst, um die Zielgröße zu beschreiben und aus der Einflussgröße vorherzusagen.
Worin unterscheiden sich Korrelation und Regression?
Die Korrelation misst die Stärke des Zusammenhangs; die Regression liefert die Geradengleichung für Prognosen und für den Effekt von X auf Y.
Was bedeutet R² = 0,995?
Dass 99,5 % der Streuung von Y in den Daten durch die Gerade erklärt werden. Das beweist weder Kausalität noch Gültigkeit außerhalb des geprüften Bereichs.
Wie viele Punkte braucht man?
Eine feste Zahl gibt es nicht, doch weniger als 8 bis 10 gut verteilte Punkte ergeben eine unsichere Gerade. Mehr Punkte verringern die Unsicherheit der Koeffizienten.
Darf ich außerhalb des Datenbereichs prognostizieren?
Nicht empfehlenswert. Außerhalb des geprüften Bereichs kann der Zusammenhang nichtlinear werden, und der Prognosefehler wächst.
Geht das in der Tabellenkalkulation?
Ja. Die Excel-Funktionen STEIGUNG, ACHSENABSCHNITT und BESTIMMTHEITSMASS liefern b, a und R² direkt.
Quellen
- MONTGOMERY, D. C.; PECK, E. A.; VINING, G. G.: Introduction to Linear Regression Analysis. Wiley.
- FAHRMEIR, L. et al.: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. Springer.
- KLEPPMANN, W.: Versuchsplanung: Produkte und Prozesse optimieren. Hanser.
Zum Weiterlernen: verlässliche Quellen und Links
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (auf Englisch)
- ASQ: Quality Resources (auf Englisch)
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Über den Autor
Spezialist für Lean Manufacturing und Verhaltensmanagement
Über 20 Jahre in der Automobil- und Metallindustrie (GM und Dana), Praktiker für Lean Manufacturing seit 2006. SENAI-Dozent und Mentor im brasilianischen Programm Brasil Mais Produtivo, mit Beratung, Schulung und Audits für über 50 Unternehmen. Er verbindet Qualität, Produktivität und Personalentwicklung.
